定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足：$f(-x)+f(x)=x^2$，当 $x<0$ 时，$f'(x)<x$，则不等式 $f(x)+\dfrac12\geqslant f(1-x)+x$ 的解集为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,\dfrac12\right]$
【解析】
根据 $f'(x)<x$，可构造新函数$$g(x)=f(x)-\dfrac12x^2+c,$$其中 $c$ 为常数，且 $x<0$ 时，$g'(x)<0$，再结合 $f(-x)+f(x)=x^2$，可变形为$$f(x)-\dfrac12x^2=-\left[f(-x)-\dfrac12(-x)^2\right],$$因此，当 $c=0$ 时，得到$$g(x)=-g(-x),$$故函数 $g(x)=f(x)-\dfrac12x^2$ 为奇函数，且在 $\mathbb R$ 上单调递减．
又不等式 $f(x)+\dfrac12\geqslant f(1-x)+x$ 可变形为$$f(x)-\dfrac12x^2\geqslant f(1-x)-\left(\dfrac12x^2-x+\dfrac12\right),$$即 $g(x)\geqslant g(1-x)$，结合函数 $g(x)$ 单调递减，则$$x\leqslant 1-x,$$因此，题中不等式的解集为 $\left(-\infty,\dfrac12\right]$．
又不等式 $f(x)+\dfrac12\geqslant f(1-x)+x$ 可变形为$$f(x)-\dfrac12x^2\geqslant f(1-x)-\left(\dfrac12x^2-x+\dfrac12\right),$$即 $g(x)\geqslant g(1-x)$，结合函数 $g(x)$ 单调递减，则$$x\leqslant 1-x,$$因此，题中不等式的解集为 $\left(-\infty,\dfrac12\right]$．
题目
答案
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