设 $A,B$ 是函数 $f(x)$ 定义域集合的两个子集，如果对任意 $x_1\in A$，都存在 $x_2\in B$，使得 $f(x_1)\cdot f(x_2)=1$，则称函数 $f(x)$ 为定义在集合 $A,B$ 上的“倒函数”．已知 $a$ 为正实数，函数 $f(x)=x^2-\dfrac23ax^3$ 为定义在 $A=(2,+\infty)$，$B=(1,+\infty)$ 两个集合上的“倒函数”，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac34,\dfrac32\right]$
【解析】
根据倒函数的定义，有\[\left\{\dfrac{1}{f(x)}\mid x\in A\right\}\subseteq \{f(x)\mid x\in B\}.\]函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2x(1-ax),\]于是\[\begin{array}{c|cccc}\hline
x&0&\left(0,\dfrac 1a\right)&\dfrac 1a&\left(\dfrac 1a,+\infty\right)\\ \hline
f'(x)&0&+&0&-\\ \hline
f(x)&0&\nearrow&{\max}&\searrow\\ \hline
\end{array}\]于是函数 $f(x)$ 在 $A,B$ 上的取值范围分别为 $(-\infty,m)$ 和 $(-\infty,n)$，根据题意，有 $0\notin (-\infty,m)$，于是 $m\leqslant 0$，此时\[\left\{\dfrac{1}{f(x)}\mid x\in A\right\}=\begin{cases}\left(\dfrac 1m,0\right),&m<0,\\
(-\infty,0),&m=0,\end{cases}\]于是 $n\geqslant 0$，即\[\begin{cases} f(2)\leqslant 0,\\ f(1)\geqslant 0,\end{cases}\]解得实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac34,\dfrac32\right]$．
x&0&\left(0,\dfrac 1a\right)&\dfrac 1a&\left(\dfrac 1a,+\infty\right)\\ \hline
f'(x)&0&+&0&-\\ \hline
f(x)&0&\nearrow&{\max}&\searrow\\ \hline
\end{array}\]于是函数 $f(x)$ 在 $A,B$ 上的取值范围分别为 $(-\infty,m)$ 和 $(-\infty,n)$，根据题意，有 $0\notin (-\infty,m)$，于是 $m\leqslant 0$，此时\[\left\{\dfrac{1}{f(x)}\mid x\in A\right\}=\begin{cases}\left(\dfrac 1m,0\right),&m<0,\\
(-\infty,0),&m=0,\end{cases}\]于是 $n\geqslant 0$，即\[\begin{cases} f(2)\leqslant 0,\\ f(1)\geqslant 0,\end{cases}\]解得实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac34,\dfrac32\right]$．
题目
答案
解析
备注
