在斜 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别是角 $A,B,C$ 所对的边，$\dfrac{\tan C}{\tan A}+\dfrac{\tan C}{\tan B}=1$，则 $\dfrac{a^2+b^2}{c^2}=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} 1&=\dfrac {\sin C}{\cos C}\cdot\dfrac {\sin(A+B)}{\sin A\sin B}\\
&=\dfrac {\sin^2 C}{\sin A\sin B\cos C}\\
&=\dfrac{c^2}{ab\cdot \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}\\
&=\dfrac{2c^2}{a^2+b^2-c^2},\end{split}\]从而得 $a^2+b^2=3c^2$．
&=\dfrac {\sin^2 C}{\sin A\sin B\cos C}\\
&=\dfrac{c^2}{ab\cdot \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}\\
&=\dfrac{2c^2}{a^2+b^2-c^2},\end{split}\]从而得 $a^2+b^2=3c^2$．
题目
答案
解析
备注
