由于$$1 + z + {z^2} + \cdots + {z^{k - 1}} = \dfrac{{1\left( {1 - {z^k}} \right)}}{{1 - z}}= \dfrac{{1 - {z^k}}}{{1 - z}},$$假设 $z = 0$ 是多边形边界 $AB$ 上的点，设 $A$、$B$ 对应的复数为 ${z_1} = \dfrac{{1 - {z^m}}}{{1 - z}}$，${z_2}= \dfrac{{1 - {z^n}}}{{1 - z}}$，则$$z = \lambda {z_1} + \left( {1 - \lambda } \right){z_2} = 0,$$其中 $0 \leqslant \lambda \leqslant 1$，所以$$\lambda \left( {1 - {z^m}} \right) + \left( {1 - \lambda } \right)\left( {1 - {z^n}} \right) = 0,$$得$$\lambda \cdot {z^m} + \left( {1 - \lambda } \right) \cdot {z^n} = 1,$$而\[\begin{split}\left| {\lambda \cdot {z^m} + \left( {1 - \lambda } \right) \cdot {z^n}} \right|& \leqslant \left| {\lambda \cdot {z^m}} \right| + \left| {\left( {1 - \lambda } \right) \cdot {z^n}} \right| \\&= \lambda \cdot \left| {{z^m}} \right| + \left( {1 - \lambda } \right) \cdot \left| {{z^n}} \right| < 1.\end{split}\]矛盾．
因此 $z = 0$ 不是多边形边界上的点．