已知等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_3=2$，当此数列的前五项和取得最小值时，前五项依次为 ．
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$2,-2,2,-2,2$
【解析】
根据题意设数列前 $5$ 项分别为$$\dfrac{2}{q^2},\dfrac{2}{q},2,2q,4q.$$设前 $5$ 项的和为 $S$，则\[\begin{split}S&=2\left(\dfrac 1{q^2}+\dfrac 1q+1+q+q^2\right)\\&=2\left[\left(q+\dfrac 1q\right)^2+\left(q+\dfrac 1q\right)-1\right]\\
&=2\left(t^2+t-1\right),\end{split}\]其中 $t=q+\dfrac 1q$，其取值范围是 $(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$．因此当 $t=-2$ 即 $q=-1$ 时 $S$ 最小，此时数列 $\{a_n\}$ 的前 $5$ 项为 $2,-2,2,-2,2$．
&=2\left(t^2+t-1\right),\end{split}\]其中 $t=q+\dfrac 1q$，其取值范围是 $(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$．因此当 $t=-2$ 即 $q=-1$ 时 $S$ 最小，此时数列 $\{a_n\}$ 的前 $5$ 项为 $2,-2,2,-2,2$．
题目
答案
解析
备注
