已知 $A,B,C$ 是抛物线 $y=x^2$ 上三点，$F$ 是抛物线上的焦点，且 $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0$，则 $|\overrightarrow {FA}|+|\overrightarrow {FB}|+|\overrightarrow {FC}|=$ ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛江苏省复赛
【标注】
【答案】
$\dfrac32$
【解析】
抛物线 $y=x^2$ 的准线 $l$ 的方程是 $y=-\dfrac14$，焦点 $F$ 的坐标是 $\left(0,\dfrac14\right)$．设 $A,B,C$ 三点坐标分别为 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，由于$$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0,$$可得$$\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0,\\
\left(y_1-\dfrac14\right)+\left(y_2-\dfrac14\right)+\left(y_3-\dfrac14\right)=0, \end{cases}$$所以$$y_1+y_2+y_3=\dfrac34.$$根据抛物线焦半径公式可得$$|\overrightarrow {FA}|+|\overrightarrow {FB}|+|\overrightarrow {FC}|=\left(y_1+\dfrac14\right)+\left(y_2+\dfrac14\right)+\left(y_3+\dfrac14\right)
=\dfrac32.$$
\left(y_1-\dfrac14\right)+\left(y_2-\dfrac14\right)+\left(y_3-\dfrac14\right)=0, \end{cases}$$所以$$y_1+y_2+y_3=\dfrac34.$$根据抛物线焦半径公式可得$$|\overrightarrow {FA}|+|\overrightarrow {FB}|+|\overrightarrow {FC}|=\left(y_1+\dfrac14\right)+\left(y_2+\dfrac14\right)+\left(y_3+\dfrac14\right)
=\dfrac32.$$
题目
答案
解析
备注
