设 ${x_1},{x_2},{x_3}$ 是方程 ${x^3} + x + 2 = 0$ 的三个根，则行列式 $\begin{vmatrix} {{x_1}} & {{x_2}} & {{x_3}} \\ {{x_2}} & {{x_3}} & {{x_1}} \\ {{x_3}} & {{x_1}} & {{x_2}} \end{vmatrix}=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
C
【解析】
因为$${x_1} + {x_2} + {x_3} = 0,$$所以$$\begin{split}\begin{vmatrix}
{{x_1}} & {{x_2}} & {{x_3}} \\
{{x_2}} & {{x_3}} & {{x_1}} \\
{{x_3}} & {{x_1}} & {{x_2}} \end{vmatrix}&= 3{x_1}{x_2}{x_3} - \left( {{x_1}^3 + {x_2}^3 + {x_3}^3} \right)\\ &= - \left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 - {x_1}{x_2} - {x_2}{x_3} - {x_3}{x_1}} \right)\\ &=0.\end{split}$$
{{x_1}} & {{x_2}} & {{x_3}} \\
{{x_2}} & {{x_3}} & {{x_1}} \\
{{x_3}} & {{x_1}} & {{x_2}} \end{vmatrix}&= 3{x_1}{x_2}{x_3} - \left( {{x_1}^3 + {x_2}^3 + {x_3}^3} \right)\\ &= - \left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 - {x_1}{x_2} - {x_2}{x_3} - {x_3}{x_1}} \right)\\ &=0.\end{split}$$
题目
答案
解析
备注
