根据题意，有\[f(x)=f(m-x),\]于是函数 $f(x)$ 关于 $x=\dfrac 12m$ 对称．结合所有的零点的平均数为 $\dfrac 12$，可得 $m=1$．此时问题转化为函数\[g(x)=\left|x+\dfrac 1x\right|+\left|1-x+\dfrac{1}{1-x}\right|\]在 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$ 上与直线 $y=a$ 有 $3$ 个公共点．此时\[g(x)=\begin{cases} \dfrac 1x+\dfrac{1}{1-x}+1,&\dfrac 12<x<1,\\
2x+\dfrac 1x+\dfrac{1}{x-1}-1,&x>1.\end{cases}\]情形一当 $\dfrac 12<x<1$ 时，函数 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=-\dfrac 1{x^2}+\dfrac{1}{(1-x)^2}>0,\]于是函数 $g(x)$ 单调递增，且取值范围是 $(5,+\infty)$．（也可以不求导，由$$ g(x)=1+\dfrac 1{x(1-x)} $$知 $ g(x)$ 在 $ \left(\dfrac 12,1\right)$ 上单调递增．）
情形二当 $ x>1 $ 时，函数 $ g(x)$ 的导函数\[g'(x)=2-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{(x-1)^2},\]考虑到 $ g'(x)$ 是 $(1,+\infty)$ 上的单调递增函数，且\[\lim_{x\to 1^+}g'(x)=-\infty,\lim_{x\to +\infty}g'(x)=2,\]于是 $ g'(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上有唯一零点，记为 $ x_0 $．进而函数 $ g(x)$ 在 $(1,x_0)$ 上单调递减，在 $(x_0,+\infty)$ 上单调递增，在 $ x=x_0 $ 处取得极小值 $ m $，如图．接下来问题的关键是判断 $ m $ 与 $ 5 $ 的大小关系．注意到\[m\leqslant f\left(\dfrac 32\right)=\dfrac 32+\dfrac 23+\dfrac 12+2=\dfrac{14}{3}<5,\]于是所求的取值范围是 $(5,+\infty)$．