设函数 $f(x)=kx^2-kx$，$g(x)=\begin{cases} \ln x,&x\geqslant 1,\\ -x^3+(a+1)x^2-ax,&0<x<1,\end{cases}$ 若使得不等式 $f(x)\geqslant g(x)$ 对一切正实数 $x$ 恒成立的实数 $k$ 存在且唯一，则实数 $a$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
根据题意，有\[\forall 0<x<1,k(x-1)\geqslant -x^2+(a+1)x-a,\]且\[\forall x>1,k(x-1)\geqslant \dfrac{\ln x}x.\]如图，若使得不等式 $f(x)\geqslant g(x)$ 对一切正实数 $x$ 恒成立的实数 $k$ 存在且唯一，则直线 $y=k(x-1)$ 是函数\[\begin{split} g_1(x)&=\dfrac{\ln x}x,\\
g_2(x)&=-x^2+(a+1)x-a\end{split}\]的公切线．
因此\[\left(\dfrac{\ln x}x\right)'_{x=1}=\left(-x^2+(a+1)x-a\right)'_{x=1},\]也即\[1=-2+(a+1),\]解得 $a=2$．
g_2(x)&=-x^2+(a+1)x-a\end{split}\]的公切线．
因此\[\left(\dfrac{\ln x}x\right)'_{x=1}=\left(-x^2+(a+1)x-a\right)'_{x=1},\]也即\[1=-2+(a+1),\]解得 $a=2$．
题目
答案
解析
备注
