若 $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)=-\dfrac18$，其中 $\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$，则 $2\sin^2\alpha+\tan\alpha-\dfrac{1}{\tan\alpha}-1$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac14+\dfrac{2\sqrt{15}}{15}$
【解析】
根据题意，有\[\sin^2\dfrac{\pi}4-\sin^2\alpha=-\dfrac 18,\]于是\[\sin\alpha=\dfrac{\sqrt 5}{2\sqrt 2},\]进而 $\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$，因此\[2\sin^2\alpha+\tan\alpha-\dfrac{1}{\tan\alpha}-1=\dfrac 14+\dfrac{2\sqrt{15}}{15}.\]
题目
答案
解析
备注
