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设双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$ 的右顶点为 $A$，右焦点为 $F$，过点 $F$ 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 $B$，则点 $B$ 的坐标是 ，$\triangle AFB$ 的外接圆的半径的长等于 ．
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的基本量
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    正弦定理
【答案】
$\left(\dfrac54,\pm\dfrac{3\sqrt3}{4}\right)$；$\dfrac{\sqrt{21}}{6}$
【解析】
由题可知，直线 $FB$ 的斜率为 $\sqrt3$，与双曲线联立，得$$\begin{cases}y=\pm\sqrt3(x-2),\\x^2-\dfrac{y^2}{3}=1,\end{cases}$$解得 $x=\dfrac54$，因此点 $B$ 的坐标是 $\left(\dfrac54,\pm\dfrac{3\sqrt3}{4}\right)$，在 $\triangle ABF$ 中，$$AB=\dfrac{\sqrt7}{2},\angle AFB=60^\circ,$$故 $\triangle AFB$ 的外接圆半径$$\dfrac12\cdot\dfrac{AB}{\sin\angle ABF}=\dfrac{\sqrt{21}}{6}.$$
题目 答案 解析 备注
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