由题数列 $\{a_n\}$ 对应的不动点方程为$$x=\dfrac{x+3}{3x+1},$$解得 $x=\pm1$，对数列 $\{a_n\}$ 的递推公式，两边同时加 $1$，得$$a_{n+1}+1=\dfrac{4\left(a_n+1\right)}{3a_n+1},$$同时减 $1$，得$$a_{n+1}-1=\dfrac{-2\left(a_n-1\right)}{3a_n+1},$$两式相除，得$$\dfrac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+1}=-\dfrac12\cdot\dfrac{a_n-1}{a_n+1},$$所以数列 $\left\{\dfrac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+1}\right\}$ 是公比为 $-\dfrac12$，首项为 $\dfrac13$ 的等比数列，因此有$$\dfrac{a_n-1}{a_n+1}=\dfrac{1}{3\cdot(-2)^{n-1}},$$整理得$$a_n=\dfrac{3\cdot(-2)^{n-1}+1}{3\cdot(-2)^{n-1}-1},n\in\mathbb N^{\ast}$$因此数列 $\{a_n\}$ 的第 $10$ 项 $a_{10}=\dfrac{1535}{1537}$．