方程 $\sqrt{4-2\sqrt3\sin x}+\sqrt{10-4\sqrt3\sin x-6\cos x}=2$ 的解是 $x=$ ．
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$2k\pi+\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb Z$
【解析】
题中方程可整理得$$\sqrt{\left(\sqrt3\sin x-1\right)^2+\left(\sqrt3\cos x-0\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt3\sin x-2\right)^2+\left(\sqrt3\cos x-\sqrt3\right)^2}=2,$$表示点 $M\left(\sqrt3\cos x,\sqrt3\sin x\right)$ 与 $A(0,1)$ 和 $B\left(\sqrt3,2\right)$ 的距离之和．注意到$$|AB|=\sqrt{\left(0-\sqrt2\right)^2+(1-2)^2}=2,$$因此点 $M$ 在线段 $AB$ 上，根据向量共线，整理得$$\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1,$$因此所求方程的解是 $x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbb Z$．
题目
答案
解析
备注
