椭圆上的点 $P$ 到它的两个焦点 $F_1,F_2$ 的距离之比 $PF_1:PF_2=3:2$，且 $\angle PF_1F_2=\alpha$，其中 $\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，则 $\alpha$ 的最大值等于 ，椭圆的离心率等于 ．
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\arccos\dfrac{\sqrt5}{3}$；$\dfrac{3\cos\alpha\pm\sqrt{9\cos^2\alpha-4}}{5}$
【解析】
由题，在 $\triangle PF_1F_2$ 中，有$$PF_1=\dfrac65a,PF_2=\dfrac45a,F_1F_2=2c,\angle PF_1F_2=\alpha,$$设椭圆的离心率为 $e$，根据余弦定理，有$$\cos\alpha=\dfrac{PF_1^2+F_1F_2^2-PF_2^2}{2\cdot PF_1\cdot PF_2}=\dfrac{1}{6e}+\dfrac{5e}{6}\geqslant\dfrac{\sqrt5}{3},$$当且仅当 $e=\dfrac{1}{\sqrt5}$ 时，取得等号，因此 $\alpha$ 的最大值为 $\arccos\dfrac{\sqrt5}{3}$；
由上述余弦定理，可得$$5e^2-6\cos\alpha\cdot e+1=0,$$解得椭圆的离心率\[e=\dfrac{3\cos\alpha\pm\sqrt{9\cos^2\alpha-4}}{5}.\]
由上述余弦定理，可得$$5e^2-6\cos\alpha\cdot e+1=0,$$解得椭圆的离心率\[e=\dfrac{3\cos\alpha\pm\sqrt{9\cos^2\alpha-4}}{5}.\]
题目
答案
解析
备注
