已知矩形 $ABCD$ 的四个顶点坐标 $A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1)$，点 $P$ 是对角线 $BD$ 上的动点，设 $f(x)=\overrightarrow{DP}\cdot\overrightarrow{PC}$，则 $f(x)$ 的表达式为 ，$f(x)$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$-\dfrac54x^2+2x,x\in[0,2]$；$\left[-1,\dfrac45\right]$
【解析】
由题可得$$\overrightarrow{DP}=(x,y-1),\overrightarrow{DB}=(2,-1),$$根据 $D,P,B$ 三点共线，可得$$x+2y=2,$$因此有$$f(x)=\overrightarrow{DP}\cdot\overrightarrow{PC}=-\dfrac54x^2+2x,$$因此 $f(x)$ 的表达式为 $-\dfrac54x^2+2x,x\in[0,2]$，进而取值范围是 $\left[-1,\dfrac45\right]$．
题目
答案
解析
备注
