如果 ${\sin ^3}\theta + {\cos ^3}\theta < 0$，那么 $\sin \theta + \cos \theta $ 的取值范围为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
A
【解析】
因为$$\begin{split}{\sin ^3}\theta + {\cos ^3}\theta &= \left( {\sin \theta + \cos \theta } \right)\left( {{{\sin }^2}\theta - \sin \theta \cos \theta + {{\cos }^2}\theta } \right)\\ &=\left( {\sin \theta + \cos \theta } \right)\left( 1-\sin \theta \cos \theta \right)< 0\end{split},$$所以 ${\sin ^3}\theta + {\cos ^3}\theta<0$ 等价于 $ \sin \theta + \cos \theta <0$．因为$$\sin \theta + \cos \theta =\sqrt 2\sin \left(\theta+\dfrac {\pi}{4}\right)\geqslant -\sqrt 2,$$所以$$-\sqrt 2\leqslant \sin \theta+\cos \theta <0.$$
题目
答案
解析
备注
