设 $A\left(0,0\right)$，$B\left(4,0\right)$，$C\left(t + 4,3\right)$，$D\left(t,3\right) \left(t \in {\mathbb{R}}\right)$．记 $N\left(t\right)$ 为平行四边形 $ABCD$ 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则 $N\left(0\right) = $ ；$N\left(t\right)$ 的所有可能取值为 ．
【难度】
【出处】
2011年高考北京卷（文）
【标注】
【答案】
$6$；$6,7,8$
【解析】
当 $t = 0$ 时，作图易知共有 $6$ 个整点，即 $N\left( 0 \right) = 6$；如图分别确定直线 $AD$，$BC$ 的方程，然后确定直线 $y = 1$，$y = 2$ 与其交点的坐标依次为\[E\left( {\dfrac{t}{3},1} \right),G\left( {\dfrac{t}{3} + 4,1} \right) , F\left( {\dfrac{2t}{3},2} \right) ,H\left( {\dfrac{2t}{3} + 4,2} \right),\]故当 $\dfrac{t}{3} \in {\mathbb{Z}}$ 时，则 $\dfrac{2t}{3} \in {\mathbb{Z}}$，在线段 $GE$ 上且在平行四边形内部的整点共有 $3$ 个，在线段 $FH$ 上且在平行四边形内部的整点共有 $3$ 个，此时整点的个数共有 $6$ 个；
当 $\dfrac{t}{3} \notin {\mathbb{Z}}$，$\dfrac{2t}{3} \in {\mathbb{Z}}$ 时，线段 $GE$ 上满足条件的整点有 $4$ 个，$FH$ 上共有 $3$ 个，故整点总数为 $7$ 个；
当 $\dfrac{t}{3} \notin {\mathbb{Z}}$，$\dfrac{2t}{3} \notin {\mathbb{Z}}$ 时，线段 $EG$，$FH$ 上各有 $4$ 个整点在平行四边形内部，故此时整点个数共有 $8$ 个，综上可知 $N\left(t\right)$ 的所有取值为 $6$，$7$，$8$．
当 $\dfrac{t}{3} \notin {\mathbb{Z}}$，$\dfrac{2t}{3} \in {\mathbb{Z}}$ 时，线段 $GE$ 上满足条件的整点有 $4$ 个，$FH$ 上共有 $3$ 个，故整点总数为 $7$ 个；
当 $\dfrac{t}{3} \notin {\mathbb{Z}}$，$\dfrac{2t}{3} \notin {\mathbb{Z}}$ 时，线段 $EG$，$FH$ 上各有 $4$ 个整点在平行四边形内部，故此时整点个数共有 $8$ 个，综上可知 $N\left(t\right)$ 的所有取值为 $6$，$7$，$8$．
题目
答案
解析
备注
