二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，在 $0\leqslant x\leqslant 1$ 时，恒有 $|f(x)|\leqslant 1$，则 $|a|+|b|+|c|$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$17$
【解析】
根据题意有$$\begin{cases} f(0)=c,\\
f(1)=a+b+c,\\
f\left(\dfrac12\right)=\dfrac14a+\dfrac12b+c,\end{cases}$$所以$$\begin{cases} a=2f(0)+2f(1)-4f\left(\dfrac12\right),\\
b=-3f(0)-f(1)+4f\left(\dfrac12\right),\\
c=f(0), \end{cases}$$由于$$|a|+|b|+|c|=\max\{|a+b+c|,|a+b-c|,|a-b+c|,|a-b-c|\},$$而$$\begin{split} &|a+b+c|=|f(1)|\leqslant 1,\\
&|a-b+c|=|f(-1)|\leqslant 17,\\
&|a+b-c|=|f(1)-2f(0)|\leqslant 3,\\
&|a-b-c|=|f(-1)-2f(0)|\leqslant 15, \end{split}$$当$$(ab\leqslant 0)\land(ac\geqslant 0)\land(bc\leqslant 0)\land\left(f(0)=f(1)=-f\left(\dfrac12\right)=1\right),$$即$$(a,b,c)=(8,-8,1)$$时 $|a|+|b|+|c|$ 取得最大值 $17$．
f(1)=a+b+c,\\
f\left(\dfrac12\right)=\dfrac14a+\dfrac12b+c,\end{cases}$$所以$$\begin{cases} a=2f(0)+2f(1)-4f\left(\dfrac12\right),\\
b=-3f(0)-f(1)+4f\left(\dfrac12\right),\\
c=f(0), \end{cases}$$由于$$|a|+|b|+|c|=\max\{|a+b+c|,|a+b-c|,|a-b+c|,|a-b-c|\},$$而$$\begin{split} &|a+b+c|=|f(1)|\leqslant 1,\\
&|a-b+c|=|f(-1)|\leqslant 17,\\
&|a+b-c|=|f(1)-2f(0)|\leqslant 3,\\
&|a-b-c|=|f(-1)-2f(0)|\leqslant 15, \end{split}$$当$$(ab\leqslant 0)\land(ac\geqslant 0)\land(bc\leqslant 0)\land\left(f(0)=f(1)=-f\left(\dfrac12\right)=1\right),$$即$$(a,b,c)=(8,-8,1)$$时 $|a|+|b|+|c|$ 取得最大值 $17$．
题目
答案
解析
备注
