根据题意有\[ \begin{split}&{\cos ^4}\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{3} + \alpha } \right) - {\cos ^4}\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{6} - \alpha } \right)\\=&{\cos ^4}\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{3} + \alpha } \right) - {\sin ^4}\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{3}+ \alpha } \right)\\=&\left[{\cos^2}\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{3} + \alpha } \right) - {\sin^2}\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{3} + \alpha } \right)\right]\left[{\cos^2}\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{3} + \alpha } \right) + {\sin^2}\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{3} + \alpha } \right)\right] \\=&\dfrac{{\cos^2}\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{3} + \alpha } \right) - {\sin^2}\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{3} + \alpha } \right)}{{\cos^2}\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{3} + \alpha } \right) + {\sin^2}\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{3} + \alpha } \right) } \\=&\dfrac{1-\tan^2\left(\dfrac{\mathrm \pi}3+\alpha\right)}{1+\tan^2\left(\dfrac{\mathrm \pi}3+\alpha\right)},\end{split} \]由 $\dfrac{\sin \alpha - \cos \alpha }{\sin \alpha + \cos \alpha } = \dfrac{1}{3}$ 可得$$ \tan \alpha=2 ,$$所以$$ \tan\left(\alpha+\dfrac{\mathrm \pi}3\right)=\dfrac{2+\sqrt 3}{1-2\sqrt 3} .$$进而可得$${\cos ^4}\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{3} + \alpha } \right) - {\cos ^4}\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{6} - \alpha } \right)=\dfrac{3 - 4\sqrt 3 }{10}.$$