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长为 $5$，宽为 $4$，高为 $3$ 的长方体密闭容器内有一半径为 $1$ 的小球，小球可在容器内任意运动，则容器内小球不能到达的空间的体积为 \((\qquad)\)
A: $32 - \dfrac{{22}}{3}\pi$
B: $6\pi$
C: $\dfrac{{22}}{3}\pi$
D: $60 - \pi$
【难度】
【出处】
2008年西北工业大学自主招生测试
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    立体几何
    >
    空间计算
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何体
    >
    空间几何体的形体分析
    >
    空间几何体的体积
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何体
    >
    空间组合体
    >
    空间几何体的接切
【答案】
A
【解析】
情形一 $3$ 个面的交接处（即 $8$ 个角处）不能达到的体积为$$8\left( {1 - \dfrac{1}{8} \times \dfrac{4}{3}\pi \times {1^3}} \right) = 8 - \dfrac{4}{3}\pi,$$情形二 两个面的交接处不能到达的体积为$$\left( {1 - \dfrac{1}{4}\pi \times {1^2}} \right) \times \left[ {\left( {3 - 2} \right) \times 4 + \left( {4 - 2} \right) \times 4 + \left( {5 - 2} \right) \times 4} \right] = 24 - 6\pi,$$故容器内小球不能到达的空间的体积为 $32-\dfrac {22}{3}\pi$．
题目 答案 解析 备注
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