设函数 $f\left( x \right) = \sin \left( {\omega x + \varphi } \right)$，其中 $\omega >0$，$\varphi \in {\mathbb {R}}$，若存在常数 $T\left( {T < 0} \right)$，使对任意 $x \in {\mathbb {R}}$，有 $f\left( {x + T} \right) = Tf\left( x \right)$，则 $\omega $ 可取到的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2012年卓越人才培养合作高校自主选拔学业能力测试数学试题
【标注】
【答案】
${{\pi }}$
【解析】
由题意，存在 ${x_1} \in {\mathbb {R}}$，使得 $f\left( {{x_1}} \right) = 1$，于是\[\left| {f\left( {{x_1} + T} \right)} \right| = \left| {Tf\left( {{x_1}} \right)} \right| = \left| T \right| \leqslant 1.\]存在 ${x_2} \in {\mathbb {R}}$，使得 $f\left( {{x_2} + T} \right) = 1$，于是\[1=\left| {f\left( {{x_2} + T} \right)} \right| = \left| {Tf\left( {{x_2}} \right)} \right| \leqslant \left| T \right|.\]因此 $T = - 1$，故\[f\left( {x - 1} \right) = - f\left( x \right) = f\left( {x + 1} \right),\]可知 $f\left( x \right)$ 的一个周期是 $2$，所以 $\dfrac{{2{{\pi }}}}{w} \cdot k = 2$，$k \in{\mathbb {Z}}$．由此可得 $w = k{{\pi }}$．
下面验证当 $k=1$ 时，$w = {{\pi }}$ 满足 $f\left( {x - 1} \right) = - f\left( x \right)$．由诱导公式可知，\[f(x-1)=\sin \left( {{{\pi }}x - {{\pi }} + \varphi } \right) = - \sin \left( {{{\pi }}x + \varphi } \right)=-f(x)\]对任意 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立．
综上所述，$\omega $ 可取到的最小值为 $\pi$．
下面验证当 $k=1$ 时，$w = {{\pi }}$ 满足 $f\left( {x - 1} \right) = - f\left( x \right)$．由诱导公式可知，\[f(x-1)=\sin \left( {{{\pi }}x - {{\pi }} + \varphi } \right) = - \sin \left( {{{\pi }}x + \varphi } \right)=-f(x)\]对任意 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立．
综上所述，$\omega $ 可取到的最小值为 $\pi$．
题目
答案
解析
备注
