如图所示，已知 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=90^\circ$，$BC=a$，动线段 $PQ$ 的长度为 $a$，$PQ$ 的中点是 $A$，当线段 $PQ$ 绕点 $A$ 任意旋转时，$\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ}$ 的最大值等于 ．
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{a^2}{4}$
【解析】
设 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角为 $\theta$，$0\leqslant \theta\leqslant 180^\circ$，由于 $\angle BAC=90^\circ$，所以$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0,$$则$$\begin{split}\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ}&=\left(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}\right)\\
&=-\dfrac{a^2}{4}+\dfrac12\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{BC}\\
&=-\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{a^2}{2}\cos\theta.\end{split}$$因此当 $\theta=0$，即 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 同向时，$\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ}$ 的最大值为 $\dfrac{a^2}{4}$．
&=-\dfrac{a^2}{4}+\dfrac12\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{BC}\\
&=-\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{a^2}{2}\cos\theta.\end{split}$$因此当 $\theta=0$，即 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 同向时，$\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ}$ 的最大值为 $\dfrac{a^2}{4}$．
题目
答案
解析
备注
