已知菱形 $ABCD$ 中，$\angle BAD=60^\circ$，设以 $A,C$ 为焦点，且通过 $B,D$ 两点的椭圆的离心率为 $e_1$，以 $A,C$ 为焦点，且以 $B,D$ 两点为虚轴端点的双曲线的离心率为 $e_2$，则 $\dfrac{e_1}{e_2}=$ ．
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt2}{2}$
【解析】
设 $AC=2c,BD=2b$，则$$e_1=\dfrac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}=\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2},$$且$$e_2=\dfrac{c}{\sqrt{c^2-b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac bc\right)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\tan^230^\circ}}=\dfrac{\sqrt6}{2},$$因此$$\dfrac{e_1}{e_2}=\dfrac{\sqrt2}2.$$
题目
答案
解析
备注
