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设有 $n + 1$ 个不同颜色的球，放入 $n$ 个不同的盒子中，要求每个盒子至少有一个球，则不同的方法有 \((\qquad)\) 种．
A: $\left( {n + 1} \right)!$
B: $n\left( {n + 1} \right)!$
C: $\dfrac{1}{2}n\left( {n + 1} \right)$
D: $\dfrac{1}{2}n\left( {n + 1} \right)!$
【难度】
【出处】
2009年复旦大学自主招生资格选拔测试
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    计数与概率
    >
    计数与概率
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    排列数与组合数
【答案】
D
【解析】
先从 $n + 1$ 个球中选出 $2$ 个捆在一起，形成 $n$ 组，共有 ${\mathrm{C}}_{n + 1}^2$ 种方法；将 $n$ 组进行排列，有 $n !$ 种方法．所以不同的放法种数共$$\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} \cdot n != \dfrac{1}{2}n\left( {n + 1} \right) !.$$
题目 答案 解析 备注
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