设集合 $A=\{(x,y)\mid y\geqslant |2x-1|,$ $x,y\in\mathbb R\}$，$B=\{(x,y)\mid y\leqslant -|x|+b,x,y\in\mathbb R\}$，若 $A\cap B\neq$ $ \varnothing$，则 $b$ 的取值范围是 ，当 $(x,y)\in A\cap B$，且 $2x+3y$ 的最大值为 $9$ 时，$b=$ ．
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac12,+\infty\right)$，$3$
【解析】
根据题意，有\[\exists x,y\in\mathbb R,|2x-1|\leqslant y\leqslant -|x|+b,\]即\[\exists x\in\mathbb R,|2x-1|\leqslant -|x|+b,\]也即\[\exists x\in \mathbb R,b\geqslant |2x-1|+|x|,\]解得 $b$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$．
当 $(x,y)\in A\cap B$ 时，有\[2x+3y\leqslant 2x+3\left(-|x|+b\right)=3b+2x-3|x|\leqslant 3b,\]等号当 $(x,y)=(0,b)$ 时取得，因此该式的最大值为 $3b$，根据题意，有 $b=3$．
当 $(x,y)\in A\cap B$ 时，有\[2x+3y\leqslant 2x+3\left(-|x|+b\right)=3b+2x-3|x|\leqslant 3b,\]等号当 $(x,y)=(0,b)$ 时取得，因此该式的最大值为 $3b$，根据题意，有 $b=3$．
题目
答案
解析
备注
