若 $f(\theta)=a\cos\theta+b\sin\theta$，$g(\theta)=c\cos\theta+d\sin\theta$，其中 $a,b,c,d$ 是常数，当 $\theta\in[0,2\pi]$ 时，$f(\theta),g(\theta),f(\theta)+g(\theta)$ 的最大值分别为 $3,5,6$，则 $ac+bd=$ ，$f(\theta)\cdot g(\theta)$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$1$；$8$
【解析】
根据题意，有\[f(\theta)+g(\theta)=(a+c)\cos\theta+(b+d)\sin \theta,\]于是\[\begin{cases} \sqrt{a^2+b^2}=3,\\
\sqrt{c^2+d^2}=5,\\
\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}=6,\end{cases}\]即\[\begin{cases} a^2+b^2=9,\\
c^2+d^2=25,\\
a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)=36,\end{cases}\]于是可得\[ac+bd=\dfrac{36-9-25}{2}=1.\]又\[f(\theta)\cdot g(\theta)=ac\cos^2\theta+bd\sin\theta+(ad+bc)\sin\theta\cos\theta,\]也即\[f(\theta)\cdot g(\theta)=\dfrac{1+(ac-bd)\cos2\theta+(ad+bc)\sin2\theta}{2},\]于是其最大值为\[\dfrac{1+\sqrt{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}}2=\dfrac{1+\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}}{2}=8.\]
\sqrt{c^2+d^2}=5,\\
\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}=6,\end{cases}\]即\[\begin{cases} a^2+b^2=9,\\
c^2+d^2=25,\\
a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)=36,\end{cases}\]于是可得\[ac+bd=\dfrac{36-9-25}{2}=1.\]又\[f(\theta)\cdot g(\theta)=ac\cos^2\theta+bd\sin\theta+(ad+bc)\sin\theta\cos\theta,\]也即\[f(\theta)\cdot g(\theta)=\dfrac{1+(ac-bd)\cos2\theta+(ad+bc)\sin2\theta}{2},\]于是其最大值为\[\dfrac{1+\sqrt{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}}2=\dfrac{1+\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}}{2}=8.\]
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解析
备注
