若经过两点 $A(a,0),B(0,a)$ 的直线与抛物线 $y=x^2-2x-3$ 无交点，则实数 $a$ 的取值范围为 ，若直线 $AB$ 上的点到抛物线上的点的距离最小值为 $1$，则 $a=$ ．
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,-\dfrac{13}{4}\right)$，$-\dfrac{13}{4}-\sqrt2$
【解析】
易得直线 $AB$ 的方程为 $x+y=a$，该直线与抛物线无交点，即方程组$$\begin{cases} x+y=a,\\y=x^2-2x-3, \end{cases}$$无实数解，联立消去 $y$ 得$$x^2-x-(3+a)=0,$$该一元二次方程无实数解，所以$$\Delta =13+4a<0,$$解得 $a$ 的取值范围为 $\left(-\infty,-\dfrac{13}{4}\right)$．
显然，当 $a=-\dfrac{13}{4}$ 时，直线 $x+y=-\dfrac{13}4$ 与抛物线相切，所以当直线 $AB$ 与抛物线的距离为 $1$ 时，则直线 $AB$ 是与直线 $x+y=-\dfrac{13}{4}$ 的距离为 $1$，且远离抛物线的直线．由平行直线距离公式可得$$1=\dfrac{\bigg|a+\dfrac{13}{4}\bigg|}{\sqrt2},$$解得$$a=-\dfrac{13}{4}\pm\sqrt{2},$$又考虑到 $a<-\dfrac{13}{4}$，所以符合题设的 $a$ 的取值为 $-\dfrac{13}{4}-\sqrt2$．
显然，当 $a=-\dfrac{13}{4}$ 时，直线 $x+y=-\dfrac{13}4$ 与抛物线相切，所以当直线 $AB$ 与抛物线的距离为 $1$ 时，则直线 $AB$ 是与直线 $x+y=-\dfrac{13}{4}$ 的距离为 $1$，且远离抛物线的直线．由平行直线距离公式可得$$1=\dfrac{\bigg|a+\dfrac{13}{4}\bigg|}{\sqrt2},$$解得$$a=-\dfrac{13}{4}\pm\sqrt{2},$$又考虑到 $a<-\dfrac{13}{4}$，所以符合题设的 $a$ 的取值为 $-\dfrac{13}{4}-\sqrt2$．
题目
答案
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