适合不等式 $\sqrt{5-{\log_2}(x^2-4x+11)}+$ $\sqrt{8-2^{|x+1|}}$ $\geqslant 2\cos^2\dfrac{\pi}{4}x$ $+\sin\dfrac{\pi}2x+1$ 的自然数 $x$ 是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0,1,2$
【解析】
原不等式首先应当满足$$\begin{cases} 5-{\log_2}(x^2-4x+11)\geqslant 0,\\
8-2^{|x+1|}\geqslant 0,\end{cases}$$解得 $-3\leqslant x\leqslant 2$，因为 $x\in\mathbb N^\ast$，所以$$x=0,1,2.$$情形一 当 $x=0$，原不等式$$\begin{split} LHS=\sqrt{5-{\log_2}11}+\sqrt6\end{split}>1+\sqrt6>3=RHS.$$符合题意．
情形二 当 $x=1$，原不等式$$LHS=\sqrt2+2>3=RHS.$$符合题意．
情形三 当 $x=2$，原不等式$$LHS=\sqrt{5-{\log_2}7}>1=RHS.$$符合题意．
综上，符合题意的 $x$ 为 $0,1,2$．
8-2^{|x+1|}\geqslant 0,\end{cases}$$解得 $-3\leqslant x\leqslant 2$，因为 $x\in\mathbb N^\ast$，所以$$x=0,1,2.$$
综上，符合题意的 $x$ 为 $0,1,2$．
题目
答案
解析
备注
