已知 $a,b,x,y$ 均为正实数，且恒有 $(x+y)\left(\dfrac ax+\dfrac by\right)\geqslant 16$，则 $a^2+b^2$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[32,+\infty)$
【解析】
根据题意记$$M=(x+y)\left(\dfrac ax+\dfrac by\right),$$则由柯西不等式$$M\geqslant (\sqrt a+\sqrt b)^2.$$当 $\dfrac a{x^2}=\dfrac b{y^2}$ 时上式取等，又 $M\geqslant 16$ 恒成立，因此 $(\sqrt a+\sqrt b)^2$ 的取值范围为 $[16,+\infty)$，所以$$a^2+b^2\geqslant \dfrac12(a+b)^2\geqslant \dfrac12\left(\dfrac12(\sqrt a+\sqrt b)^2\right)^2\geqslant 32.$$当 $(a,x)=(b,y)$ 时，上述不等式取得等号，因此 $a^2+b^2$ 的取值范围为 $[32,+\infty)$．
题目
答案
解析
备注
