若实数 $x,y,z$ 满足 $x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$，$x+2y+3z=0$，那么 $x+y+z$ 的值等于 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
根据题意有$$\begin{cases} (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=14,\\
(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=-14,\end{cases}$$根据柯西不等式$$\begin{split} 14\cdot 14&=(1^2+2^2+3^2)\cdot\left((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2\right)\\
&\geqslant \left(1\cdot(x-1)+2\cdot(y-2)+3\cdot(z-3)\right)^2\\
&=14^2. \end{split}$$由柯西不等式取等条件可知$$\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}2=\dfrac{z-3}3,$$设上述比值为 $k$，则$$(x,y,z)=(1+k,2+2k,3+3k),$$代入 $x+2y+3z=0$，解得 $k=-1$，所以 $x+y+z=0$．
(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=-14,\end{cases}$$根据柯西不等式$$\begin{split} 14\cdot 14&=(1^2+2^2+3^2)\cdot\left((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2\right)\\
&\geqslant \left(1\cdot(x-1)+2\cdot(y-2)+3\cdot(z-3)\right)^2\\
&=14^2. \end{split}$$由柯西不等式取等条件可知$$\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}2=\dfrac{z-3}3,$$设上述比值为 $k$，则$$(x,y,z)=(1+k,2+2k,3+3k),$$代入 $x+2y+3z=0$，解得 $k=-1$，所以 $x+y+z=0$．
题目
答案
解析
备注
