设非负实数 $x,y,z$ 满足 $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{27}{4}$，
则 $x+y+z$ 的 \((\qquad)\)
则 $x+y+z$ 的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
A
【解析】
由柯西不等式可知，当且仅当 $(x,y,z)=\left(1,\dfrac{1}{2},0\right)$ 时，$x+y+z$ 取到最大值 $\dfrac{3}{2}$．
$x+y+z$ 的最小值为 $\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}$，证明如下．
令 $a=x+\dfrac{1}{2}, b=y+1, c=z+\dfrac{3}{2}$，则原问题等价于当 $a \geqslant \dfrac{1}{2}, b \geqslant 1, c \geqslant \dfrac{3}{2}, a^2+b^2+c^2=\dfrac{27}{4}$ 时，求 $a+b+c-3$ 的最小值．
先固定 $a$，则 $b^2+c^2=\dfrac{27}{4}-a^2$ 为定值，当且仅当 $b=1$ 时 $b+c$ 有最小值．令 $b=1$，于是 $a^2+c^2=\dfrac{25}{4}$ 为定值，当且仅当 $a=\dfrac{1}{2}$ 时 $a+c$ 有最小值．
综上所述，当且仅当 $(x,y,z)=\left(0,0,\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}\right)$ 时，$x+y+z$ 取到最小值 $\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}$．
$x+y+z$ 的最小值为 $\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}$，证明如下．
令 $a=x+\dfrac{1}{2}, b=y+1, c=z+\dfrac{3}{2}$，则原问题等价于当 $a \geqslant \dfrac{1}{2}, b \geqslant 1, c \geqslant \dfrac{3}{2}, a^2+b^2+c^2=\dfrac{27}{4}$ 时，求 $a+b+c-3$ 的最小值．
先固定 $a$，则 $b^2+c^2=\dfrac{27}{4}-a^2$ 为定值，当且仅当 $b=1$ 时 $b+c$ 有最小值．令 $b=1$，于是 $a^2+c^2=\dfrac{25}{4}$ 为定值，当且仅当 $a=\dfrac{1}{2}$ 时 $a+c$ 有最小值．
综上所述，当且仅当 $(x,y,z)=\left(0,0,\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}\right)$ 时，$x+y+z$ 取到最小值 $\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}$．
题目
答案
解析
备注
