已知 $a,b\in\mathbb R$，$c$ 是常数，函数 $f(x)=\left|x^2+ax+b\right|$ 在 $[0,c]$ 上的最大值 $M(a,b)$ 的最小值为 $2$，则当 $M(a,b)=2$ 时，$a+b+c=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
考虑\[\begin{split} f(0)&=|b|,\\
f\left(\dfrac c2\right)&=\left|\dfrac 14c^2+\dfrac 12ac+b\right|,\\
f(c)&=\left|c^2+ac+b\right|,\end{split}\]由于\[1\cdot b-2\cdot \left(\dfrac 14c^2+\dfrac 12ac+b\right)+1\cdot \left(c^2+ac+b\right)=\dfrac 12c^2,\]于是\[\dfrac 12c^2\leqslant 1\cdot f(0)+2\cdot f\left(\dfrac c2\right)+1\cdot f(c),\]从而\[M(b,c)\geqslant\min\left\{f(0),f\left(\dfrac c2\right),f(c)\right\}\geqslant \dfrac 18c^2,\]等号取得的条件为\[f(0)=f\left(\dfrac c2\right)=f(c),\]也即\[\begin{cases} a=-c,\\ b=\dfrac 18c^2,\end{cases}\]因此根据题意，有 $c=4$，此时 $a=-4$，$b=2$，从而\[a+b+c=2.\]
f\left(\dfrac c2\right)&=\left|\dfrac 14c^2+\dfrac 12ac+b\right|,\\
f(c)&=\left|c^2+ac+b\right|,\end{split}\]由于\[1\cdot b-2\cdot \left(\dfrac 14c^2+\dfrac 12ac+b\right)+1\cdot \left(c^2+ac+b\right)=\dfrac 12c^2,\]于是\[\dfrac 12c^2\leqslant 1\cdot f(0)+2\cdot f\left(\dfrac c2\right)+1\cdot f(c),\]从而\[M(b,c)\geqslant\min\left\{f(0),f\left(\dfrac c2\right),f(c)\right\}\geqslant \dfrac 18c^2,\]等号取得的条件为\[f(0)=f\left(\dfrac c2\right)=f(c),\]也即\[\begin{cases} a=-c,\\ b=\dfrac 18c^2,\end{cases}\]因此根据题意，有 $c=4$，此时 $a=-4$，$b=2$，从而\[a+b+c=2.\]
题目
答案
解析
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