当 $a$ 和 $b$ 取遍所有实数时，函数 $f\left( {a,b} \right) = {\left( {a + 5 - 3\left| {\cos b} \right|} \right)^2} + {\left( {a - 2\left| {\sin b} \right|} \right)^2}$ 所能达到的最小值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2007年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
B
【解析】
\[\begin{split}
f\left( {a,b} \right)& = {\left( {a + 5 - 3\left| {\cos b} \right|} \right)^2} + {\left( {a - 2\left| {\sin b} \right|} \right)^2} \\
& \geqslant \dfrac{{{{\left[ {\left( {a + 5 - 3\left| {\cos b} \right|} \right) + \left( {2\left| {\sin b} \right| - a} \right)} \right]}^2}}}{2} \\&= \dfrac{{{{\left[ {5 - \left( {3\left| {\cos b} \right| - 2\left| {\sin b} \right|} \right)} \right]}^2}}}{2} .\end{split}\]而$$ - 2 \leqslant 3\left| {\cos b} \right| - 2\left| {\sin b} \right| \leqslant 3,$$所以$$f(a,b) \geqslant \dfrac{{{{\left( {5 - 3} \right)}^2}}}{2} = 2,$$等号当且仅当 $\left| {\cos b} \right| = 1,\left| {\sin b} \right| = 0 ,a = - 1$ 时取到．
f\left( {a,b} \right)& = {\left( {a + 5 - 3\left| {\cos b} \right|} \right)^2} + {\left( {a - 2\left| {\sin b} \right|} \right)^2} \\
& \geqslant \dfrac{{{{\left[ {\left( {a + 5 - 3\left| {\cos b} \right|} \right) + \left( {2\left| {\sin b} \right| - a} \right)} \right]}^2}}}{2} \\&= \dfrac{{{{\left[ {5 - \left( {3\left| {\cos b} \right| - 2\left| {\sin b} \right|} \right)} \right]}^2}}}{2} .\end{split}\]而$$ - 2 \leqslant 3\left| {\cos b} \right| - 2\left| {\sin b} \right| \leqslant 3,$$所以$$f(a,b) \geqslant \dfrac{{{{\left( {5 - 3} \right)}^2}}}{2} = 2,$$等号当且仅当 $\left| {\cos b} \right| = 1,\left| {\sin b} \right| = 0 ,a = - 1$ 时取到．
题目
答案
解析
备注
