在 $\triangle ABC$ 中，$AB=4$，$AC=2$，$BC=3$，直线 $MN$ 交 $AB$ 于 $M$，交 $BC$ 于 $N$，且将 $\triangle ABC$ 的面积二等分，则线段 $MN$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$\dfrac {\sqrt 6}{2}$
【解析】
由题意，知$$\dfrac 12 BM\cdot BN \cdot\sin B=\dfrac 14 BA \cdot BC \cdot \sin B,$$得$$BM\cdot BN=6.$$由余弦定理，得$$\cos B=\dfrac {AB^2+BC^2-AC^2}{2AB \cdot BC}=\dfrac 78.$$因为$$\begin{split}MN^2&=BM^2+BN^2-2BM\cdot BN\cdot\cos B\\ &\geqslant 2BM\cdot BN-2BM\cdot BN\cdot\cos B\\&=\dfrac 32.\end{split}$$所以线段 $MN$ 的最小值为 $\dfrac {\sqrt 6}{2}$，当 $BM=BN=\sqrt 6$ 时取得．
题目
答案
解析
备注
