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把 $2008$ 拆分成若干正整数的和，记 $x$ 为这些正整数的乘积，则 $x$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
  • 题型
    >
    组合数学
    >
    组合极值
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    逐步调整法
【答案】
$4\cdot 3^{668}$
【解析】
① 若存在超过 $3$ 的整数 $m$，可以将 $m$ 拆成 $m-2,2$，此时\[m\leqslant 2(m-2).\]② 不存在整数 $1$，否则可以将 $1$ 和 $m$ 合并为 $m+1$，此时\[1\cdot m\leqslant m+1.\]③ 整数 $2$ 不超过 $3$ 个，否则可以将 $3$ 个 $2$ 写成 $2$ 个 $3$，此时\[2\cdot 2\cdot 2\leqslant 3\cdot 3.\]综合以上，可得 $2008$ 拆成 $2$ 个 $2$ 和 $668$ 个 $3$ 时最大，此时 $x$ 的最大值为 $4\cdot 3^{668}$．
题目 答案 解析 备注
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