已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的函数，$f(1)=1$，且对任意 $x\in \mathbb R$ 都有 $f(x+5)\leqslant f(x)+5$，$f(x+1)\geqslant f(x)+1$，若 $g(x)=f(x)+1-x$，则 $g(2011)=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
根据题意只需求出 $f(2011)$ 即可求出 $g(2011)$，由于$$\forall x\in\mathbb R,f(x+1)\geqslant f(x)+1,$$所以$$\begin{split} f(x+5)&\geqslant f(x+4)+1\\&\geqslant f(x+3)+2\\
&\geqslant f(x+2)+3\\&\geqslant f(x+1)+4\\&\geqslant f(x)+5,\end{split}$$又$$f(x+5)\leqslant f(x)+5,$$所以$$f(x+5)=f(x)+5,$$所以$$f(2011)=f(1)+2010=2011,$$所以$$g(2011)=f(2011)+1-2011=1.$$
&\geqslant f(x+2)+3\\&\geqslant f(x+1)+4\\&\geqslant f(x)+5,\end{split}$$又$$f(x+5)\leqslant f(x)+5,$$所以$$f(x+5)=f(x)+5,$$所以$$f(2011)=f(1)+2010=2011,$$所以$$g(2011)=f(2011)+1-2011=1.$$
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