根据题意设$$(a,b)=\left(3^x,3^y\right),$$则$$a+b=a^2+b^2,a,b>0.$$所以$$(a+b)^2-(a+b)=2ab>0,$$所以$$a+b>1,$$又因为$$(a+b)^2-(a+b)\leqslant 2\cdot\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2,$$解得$$0<a+b\leqslant 2.$$综上可得 $a+b$ 的取值范围为 $(1,2]$．于是$$\begin{split} \dfrac{27^x+27^y}{3^x+3^y}&=a^2+b^2-ab\\
&=(a+b)^2-3ab\\
&=-\dfrac12(a+b)^2+\dfrac32(a+b)\\
&=-\dfrac12\left[(a+b)-\dfrac32\right]^2+\dfrac98.\end{split}$$结合 $1<a+b\leqslant 2$，可得上式的取值范围为 $\left[1,\dfrac98\right]$．