锐角 $\triangle ABC$ 的三边 $a,b,c$ 的面积 $S$ 满足 $S=\dfrac{c^2-(a-b)^2}{4k}$，又角 $C$ 既不是最大角，也不是最小角，则 $k$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(\sqrt2-1,1)$
【解析】
根据题意有$$S=\dfrac{c^2-(a-b)^2}{4k}=\dfrac{c^2-a^2-b^2+2ab}{4k}=\dfrac{-2ab\cos C+2ab}{4k},$$又因为$$S=\dfrac12 ab\sin C.$$所以$$\dfrac12ab\sin C=\dfrac{-2ab\cos C+2ab}{4k},$$所以$$k=\dfrac{1-\cos C}{\sin C}=\tan \dfrac C2.$$因为角 $C$ 既不是最大角，也不是最小角，所以 $C$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$，所以 $k$ 的取值范围为$$\left(\tan\dfrac{\pi}8,\tan\dfrac{\pi}4\right),$$即 $(\sqrt2-1,1)$．
题目
答案
解析
备注
