若 $a\sin^2\theta+b\cos^2\theta=c$ 且 $\dfrac{a}{\sin^2\theta}+\dfrac{b}{\cos^2\theta}=c$，则 $\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
根据已知，有\[\begin{aligned}a\sin^2\theta+b\cos^2\theta&=c\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right),\\
a\cos^2\theta+b\sin^2\theta&=c\sin^2\theta\cos^2\theta.\end{aligned}\]第一个等式即\[c-b=\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\cdot (a-c),\]因此\[\begin{split}\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}&=\dfrac{c}{(a-c)+(c-b)}-\dfrac{a}{c-b}-\dfrac{b}{a-c}\\
&=\dfrac{c}{\left(1+\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\right)\cdot (a-c)}-\dfrac{a\cos^2\theta}{\sin^2\theta\cdot (a-c)}-\dfrac{b\sin^2\theta}{\sin^2\theta\cdot (a-c)}\\
&=\dfrac{c\sin^2\theta\cos^2\theta-a\cos^2\theta-b\sin^2\theta}{\sin^2\theta\cdot (a-c)}\\
&=0.\end{split}\]
a\cos^2\theta+b\sin^2\theta&=c\sin^2\theta\cos^2\theta.\end{aligned}\]第一个等式即\[c-b=\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\cdot (a-c),\]因此\[\begin{split}\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}&=\dfrac{c}{(a-c)+(c-b)}-\dfrac{a}{c-b}-\dfrac{b}{a-c}\\
&=\dfrac{c}{\left(1+\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\right)\cdot (a-c)}-\dfrac{a\cos^2\theta}{\sin^2\theta\cdot (a-c)}-\dfrac{b\sin^2\theta}{\sin^2\theta\cdot (a-c)}\\
&=\dfrac{c\sin^2\theta\cos^2\theta-a\cos^2\theta-b\sin^2\theta}{\sin^2\theta\cdot (a-c)}\\
&=0.\end{split}\]
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