已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1$，$a_{2n}=n-a_n$，$a_{2n+1}=a_n+1$，则 $a_1+a_2+\cdots+a_{100}=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1306$
【解析】
根据题意因为$$\begin{cases} a_{2n}=n-a_n,\\
a_{2n+1}=a_n+1, \end{cases}$$两式相加得$$a_{2n}+a_{2n+1}=n+1,$$记所求表达式为 $M$，则$$\begin{split} M&=a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5)+\cdots+(a_{98}+a_{99})\\
&=1+2+3+\cdots+50\\
&=1275.\end{split}$$而$$\begin{split} a_{100}&=50-a_{50}\\
&=50-(25-a_{25})\\
&=25+a_{12}+1\\
&=26+(6-a_{6})\\
&=32-(3-a_3)\\
&=29+(a_1+1)\\
&=31.\end{split}$$因此$$M=1275+31=1306.$$
a_{2n+1}=a_n+1, \end{cases}$$两式相加得$$a_{2n}+a_{2n+1}=n+1,$$记所求表达式为 $M$，则$$\begin{split} M&=a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5)+\cdots+(a_{98}+a_{99})\\
&=1+2+3+\cdots+50\\
&=1275.\end{split}$$而$$\begin{split} a_{100}&=50-a_{50}\\
&=50-(25-a_{25})\\
&=25+a_{12}+1\\
&=26+(6-a_{6})\\
&=32-(3-a_3)\\
&=29+(a_1+1)\\
&=31.\end{split}$$因此$$M=1275+31=1306.$$
题目
答案
解析
备注
