已知定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $f(x),g(x)$ 满足 $f(x)+g(x)=\dfrac{2x}{x^2+8}$，则 $\min\{f(x),g(x)\}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 2}8$
【解析】
根据题意，设\[\begin{cases} f(x)=\dfrac{x}{x^2+8}+h(x),\\
g(x)=\dfrac{x}{x^2+8}-h(x),\end{cases}\]则\[\begin{split}\min\{f(x),g(x)\}&=\dfrac{x}{x^2+8}-|h(x)|\\
&=\begin{cases}\dfrac{1}{x+\dfrac 8x}-|h(x)|,&x\ne 0,\\
-|h(0)|,&x=0,\end{cases}\\
&\leqslant \dfrac{1}{4\sqrt 2},\end{split}\]等号当\[\begin{cases} x=2\sqrt 2,\\ h(2\sqrt 2)=0,\end{cases}\]时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{\sqrt 2}8$．
g(x)=\dfrac{x}{x^2+8}-h(x),\end{cases}\]则\[\begin{split}\min\{f(x),g(x)\}&=\dfrac{x}{x^2+8}-|h(x)|\\
&=\begin{cases}\dfrac{1}{x+\dfrac 8x}-|h(x)|,&x\ne 0,\\
-|h(0)|,&x=0,\end{cases}\\
&\leqslant \dfrac{1}{4\sqrt 2},\end{split}\]等号当\[\begin{cases} x=2\sqrt 2,\\ h(2\sqrt 2)=0,\end{cases}\]时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{\sqrt 2}8$．
题目
答案
解析
备注
