已知 $A_1,A_2,A_3$ 为平面上三个不共线的定点，平面上点 $M$ 满足 $\overrightarrow{A_1M}=\lambda\left(\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_1A_3}\right)$，其中 $\lambda$ 为实数，且 $\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}+\overrightarrow{MA_3}$ 是单位向量，则这样的点 $M$ 的个数为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
不妨设 $A_1(0,0)$，$A_2(x_1,y_1)$，$A_3(x_2,y_2)$，$M(x,y)$，则条件\[\overrightarrow{A_1M}=\lambda\left(\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_1A_3}\right)\]即\[\begin{cases} x=\lambda(x_1+x_2),\\
y=\lambda(y_1+y_2),\end{cases}\]也即 $M$ 在直线\[l:(y_1+y_2)x-(x_1+x_2)y=0\]上．而条件 $\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}+\overrightarrow{MA_3}$ 是单位向量即\[(x_1+x_2-3x)^2+(y_1+y_2-3y)^2=1,\]也即\[\left(x-\dfrac{x_1+x_2}3\right)^2+\left(y-\dfrac{y_1+y_2}3\right)^2=\left(\dfrac 13\right)^2,\]这是以 $P\left(\dfrac{x_1+x_2}3,\dfrac{y_1+y_2}3\right)$ 为圆心，$\dfrac 13$ 为半径的圆．
考虑到 $P\in l$，于是该圆与直线 $l$ 相交，于是符合题意的 $M$ 点有 $2$ 个．
y=\lambda(y_1+y_2),\end{cases}\]也即 $M$ 在直线\[l:(y_1+y_2)x-(x_1+x_2)y=0\]上．而条件 $\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}+\overrightarrow{MA_3}$ 是单位向量即\[(x_1+x_2-3x)^2+(y_1+y_2-3y)^2=1,\]也即\[\left(x-\dfrac{x_1+x_2}3\right)^2+\left(y-\dfrac{y_1+y_2}3\right)^2=\left(\dfrac 13\right)^2,\]这是以 $P\left(\dfrac{x_1+x_2}3,\dfrac{y_1+y_2}3\right)$ 为圆心，$\dfrac 13$ 为半径的圆．
考虑到 $P\in l$，于是该圆与直线 $l$ 相交，于是符合题意的 $M$ 点有 $2$ 个．
题目
答案
解析
备注
