关于函数 $f(x)=2^{\frac{x^2+1}{|x|}}$（$x\ne 0,x\in \mathbb R$）有下列命题：
① 函数 $y=f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称；
② 在区间 $(-\infty,0)$ 上，函数 $y=f(x)$ 的减函数；
③ 在区间 $(1,+\infty)$ 上，函数 $f(x)$ 是增函数；
④ 函数 $y=f(x)$ 的值域是 $[4,+\infty)$．
其中正确命题的序号为 ．
① 函数 $y=f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称；
② 在区间 $(-\infty,0)$ 上，函数 $y=f(x)$ 的减函数；
③ 在区间 $(1,+\infty)$ 上，函数 $f(x)$ 是增函数；
④ 函数 $y=f(x)$ 的值域是 $[4,+\infty)$．
其中正确命题的序号为
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①③④
【解析】
对于 ①：因为 $f(x)$ 定义域关于原点对称，且$$f(-x)=f(x)=2^{\frac{x^2+1}{|x|}},$$所以 $f(x)$ 为偶函数，图象关于 $y$ 轴对称，命题正确．
对于 ②：当 $x<0$ 时，$$f(x)=2^{-x-\frac 1x}=\left(\dfrac 12\right)^{x+\frac 1x},$$因为 $y=x+\dfrac 1x$ 在 $(-\infty,-1)$ 上单增，在 $(-1,0)$ 上单减，所以由复合函数单调性可知 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 上单减，在 $(-1,0)$ 上单增．故命题不正确．
对于 ③：因为 $f(x)$ 为偶函数，且在 $(-\infty,-1)$ 上单减，在 $(-1,0)$ 上单增，所以 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单减，在 $(1,+\infty)$ 上单增．命题正确．
对于 ④：由 $f(x)$ 为偶函数，结合单调性可知，当 $x=\pm 1$ 时，$f(x)$ 有最小值 $4$，故函数值域为 $[4,+\infty)$，命题正确．
对于 ②：当 $x<0$ 时，$$f(x)=2^{-x-\frac 1x}=\left(\dfrac 12\right)^{x+\frac 1x},$$因为 $y=x+\dfrac 1x$ 在 $(-\infty,-1)$ 上单增，在 $(-1,0)$ 上单减，所以由复合函数单调性可知 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 上单减，在 $(-1,0)$ 上单增．故命题不正确．
对于 ③：因为 $f(x)$ 为偶函数，且在 $(-\infty,-1)$ 上单减，在 $(-1,0)$ 上单增，所以 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单减，在 $(1,+\infty)$ 上单增．命题正确．
对于 ④：由 $f(x)$ 为偶函数，结合单调性可知，当 $x=\pm 1$ 时，$f(x)$ 有最小值 $4$，故函数值域为 $[4,+\infty)$，命题正确．
题目
答案
解析
备注
