已知向量 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 满足 $|\overrightarrow a|=2,|\overrightarrow b|=1$，且夹角为 $\dfrac{\pi}{3}$，则使向量 $\overrightarrow a+\lambda\overrightarrow b$ 与 $\lambda\overrightarrow a-2\overrightarrow b$ 的夹角为钝角的实数 $\lambda$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$(-1-\sqrt3,-1+\sqrt3)$
【解析】
根据题意知$$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=1.$$由于向量 $\overrightarrow a+\lambda\overrightarrow b$ 与 $\lambda\overrightarrow a-2\overrightarrow b$ 的夹角为钝角，所以$$ \left(\overrightarrow a+\lambda\overrightarrow b\right)\cdot\left(\lambda\overrightarrow a-2\overrightarrow b\right)<0,$$即$$4\lambda+(\lambda^2-2)-2\lambda<0,$$解得$$-1-\sqrt3<\lambda<-1+\sqrt3,$$且 $\overrightarrow a+\lambda\overrightarrow b$ 与 $\lambda\overrightarrow a-2\overrightarrow b$ 不可能反向，所以 $\lambda$ 的取值范围为 $(-1-\sqrt3,-1+\sqrt3)$．
题目
答案
解析
备注
