$\triangle ABC$ 的三个内角为 $A,B,C$，且 $2C-B=\pi$，又 $\triangle ABC$ 的周长与最长边的比值为 $m$，那么 $m$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac94$
【解析】
设 $\triangle ABC$ 三个内角所对的边分别为 $a,b,c$，根据题意有$$2C-B=\pi,$$所以$$C=\dfrac{\pi}2+\dfrac{B}{2}>\dfrac{\pi}{2},$$因此 $C$ 为钝角，所以 $c$ 为最长边，又因为$$\begin{split} &B=2C-\pi,\\
&A=\pi-(C+B)=2\pi-3C, \end{split}$$所以$$\begin{split} m&=\dfrac{a+b+c}{c}\\
&=\dfrac{\sin A+\sin B+\sin C}{\sin C}\\
&=\dfrac{-\sin 3C-\sin 2C+\sin C}{\sin C}\\
&=\dfrac{4\sin^3C-3\sin C-2\sin C\cos C+\sin C}{\sin C}\\
&=-4\cos^2C-2\cos C+2,\end{split}$$当 $\cos C=-\dfrac14$ 时，$m$ 取得最大值 $\dfrac94$．
&A=\pi-(C+B)=2\pi-3C, \end{split}$$所以$$\begin{split} m&=\dfrac{a+b+c}{c}\\
&=\dfrac{\sin A+\sin B+\sin C}{\sin C}\\
&=\dfrac{-\sin 3C-\sin 2C+\sin C}{\sin C}\\
&=\dfrac{4\sin^3C-3\sin C-2\sin C\cos C+\sin C}{\sin C}\\
&=-4\cos^2C-2\cos C+2,\end{split}$$当 $\cos C=-\dfrac14$ 时，$m$ 取得最大值 $\dfrac94$．
题目
答案
解析
备注
