不等式 $x+2\sqrt{2xy}\leqslant a(x+y)$ 对于一切正实数 $x,y$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
根据题意$$\forall x,y>0,a\geqslant \dfrac{x+2\sqrt{2xy}}{x+y},$$只需求出上述不等式右侧的最大值，由于$$\dfrac{x+2\sqrt{2xy}}{x+y}\leqslant \dfrac{x+x+2y}{x+y}=2.$$当 $x=2y$ 时，上述不等式取得等号，因此须 $a\geqslant 2$，$a$ 的最小值为 $2$．
题目
答案
解析
备注
