设正数数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项之和为 $b_n$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项之积为 $c_n$，且 $b_n+c_n=1$，则数列 $\left\{\dfrac1{a_n}\right\}$ 中最接近 $2011$ 的数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
由题意知$$b_n=\dfrac{c_n}{c_{n-1}}(n\geqslant 2),c_1=b_1,$$所以$$\dfrac{c_n}{c_{n-1}}+c_n=1,c_1=b_1=\dfrac 12,$$于是$$\dfrac 1{c_n}-\dfrac 1{c_{n-1}}=1,$$故 $\left\{\dfrac 1{c_n}\right\}$ 是以 $2$ 为首项，以 $1$ 为公差的等差数列，所以\[\dfrac 1{c_n}=2+(n-1)\cdot 1=n+1,\]则$$c_n=\dfrac 1{n+1},b_n=\dfrac n{n+1}.$$因此$$a_n=b_n-b_{n-1}=\dfrac 1{n(n+1)},$$故$$\dfrac 1{a_n}=n(n+1),$$因为$$44\times 45=1980,45\times 46=2070,$$所以数列 $\left\{\dfrac 1{a_n}\right\}$ 中最接近 $2011$ 的数是 $1980$．
题目
答案
解析
备注
