已知 $S_n$ 为某一等差数列的前 $n$ 项和，若 $S_3=9,S_{20}>0$，且 $S_{21}<0$，则该数列公差 $d$ 的取值范围为 ，新数列 $S_1,S_2,\cdots,S_n$ 的最大项为 ．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\left(-\dfrac 6{17},-\dfrac13\right)$，$S_{10}$ 最大
【解析】
根据题意有$$S_3=3a_1+3d=9,$$所以 $a_1=3-d,$ 所以$$\begin{split} &S_{20}=20a_1+190d=60+170d, \\
&S_{21}=21a_1+210d=63+189d,\end{split}$$由于 $S_{20}>0$ 且 $S_{21}<0$，所以$$\begin{cases} 60+170d>0,\\
63+189d<0,\end{cases}$$解得 $d$ 的取值范围为$$-\dfrac6{17}<d<-\dfrac13.$$显然该数列为单调递减数列，由于$$\begin{split} &S_{20}=10\cdot(a_{10}+a_{11})>0,\\
&S_{21}=21\cdot a_{11}<0,\end{split}$$所以$$a_{10}>0>a_{11},$$所以新数列 $\{S_{n}\}$ 的最大项为第十项 $S_{10}$．
&S_{21}=21a_1+210d=63+189d,\end{split}$$由于 $S_{20}>0$ 且 $S_{21}<0$，所以$$\begin{cases} 60+170d>0,\\
63+189d<0,\end{cases}$$解得 $d$ 的取值范围为$$-\dfrac6{17}<d<-\dfrac13.$$显然该数列为单调递减数列，由于$$\begin{split} &S_{20}=10\cdot(a_{10}+a_{11})>0,\\
&S_{21}=21\cdot a_{11}<0,\end{split}$$所以$$a_{10}>0>a_{11},$$所以新数列 $\{S_{n}\}$ 的最大项为第十项 $S_{10}$．
题目
答案
解析
备注
