经过点 $E\left(-\dfrac p2,0\right)$ 的直线 $l$，交抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 于 $A,B$ 两点，$l$ 的倾斜角为 $\alpha$，则 $\alpha$ 的取值范围是 ，$F$ 为抛物线的焦点，则 $\triangle ABF$ 的面积为 ．（用 $p,\alpha$ 表示）
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)\cup\left(\dfrac{3\pi}{4},\pi\right)$，$S_{\triangle ABF}=\dfrac{p^2\sqrt{\cos2\alpha}}{\sin \alpha}$
【解析】
设直线 $l$ 方程为 $y=k\left(x+\dfrac p2\right),k\neq 0$，即$$kx-y+\dfrac{kp}{2}=0.$$抛物线方程为$$y^2=2px,p>0,$$根据等效判别式可得$$\Delta_{c}=p-k^2p>0,$$解得 $k$ 的取值范围为 $(-1,0)\cup(0,1)$，所以 $l$ 倾斜角的取值范围为$$\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)\cup\left(\dfrac{3\pi}{4},\pi\right).$$联立直线与抛物线方程可得$$y^2-\dfrac {2p}{k}y+p^2=0,$$于是$$\begin{split} S_{\triangle ABF}&=\dfrac12p|y_1-y_2|\\
&=\dfrac12p\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}\\
&=\dfrac12p\sqrt{\dfrac{4p^2}{k^2}-4p^2}\\
&=p^2\sqrt{\dfrac1{\tan^2\alpha}-1}\\
&=\dfrac{p^2\sqrt{\cos2\alpha}}{\sin\alpha}.\end{split}$$
&=\dfrac12p\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}\\
&=\dfrac12p\sqrt{\dfrac{4p^2}{k^2}-4p^2}\\
&=p^2\sqrt{\dfrac1{\tan^2\alpha}-1}\\
&=\dfrac{p^2\sqrt{\cos2\alpha}}{\sin\alpha}.\end{split}$$
题目
答案
解析
备注
