球面上有 $10$ 个圆，这 $10$ 个圆可将球面至少分成 个区域，至多可分成 个区域．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$11$，$92$
【解析】
显然至少分成 $11$ 个部分．
设 $n$ 个圆将球面最多分成 $a_n$ 个部分，则 $a_1=2$，若有 $n+1$ 个圆，则第 $n+1$ 个圆与前面 $n$ 个圆至多有 $2n$ 个交点，这 $2n$ 个交点又将第 $n+1$ 个圆的圆弧分成 $2n$ 段，每段弧将其所穿过的区域一分为二，所以$$a_{n+1}-a_{n}=2n,n\in\mathbb N^\ast.$$于是由累加法可求得 $\{a_n\}$ 的通项公式为$$a_n=n^2-n+2,$$所以 $a_{10}=92$，即 $10$ 个圆最多将球面分成 $92$ 个区域．
设 $n$ 个圆将球面最多分成 $a_n$ 个部分，则 $a_1=2$，若有 $n+1$ 个圆，则第 $n+1$ 个圆与前面 $n$ 个圆至多有 $2n$ 个交点，这 $2n$ 个交点又将第 $n+1$ 个圆的圆弧分成 $2n$ 段，每段弧将其所穿过的区域一分为二，所以$$a_{n+1}-a_{n}=2n,n\in\mathbb N^\ast.$$于是由累加法可求得 $\{a_n\}$ 的通项公式为$$a_n=n^2-n+2,$$所以 $a_{10}=92$，即 $10$ 个圆最多将球面分成 $92$ 个区域．
题目
答案
解析
备注
